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高中数学竞赛讲义1

高中数学竞赛讲义

数学奥赛辅导 第一讲

奇数、偶数、质数、合数

知识、方法、技能

Ⅰ.整数的奇偶性

将全体整数分为两类,凡是2的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此,任一偶数可表为2m(m∈Z),任一奇数可表为2m+1或2m-1的形式.奇、偶数具有如下性质:

(1)奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;

奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数;

奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数;

(2)奇数的平方都可表为8m+1形式,偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式(m∈Z).

(3)任何一个正整数n,都可以写成n 2l的形式,其中m为非负整数,l为奇数. 这些性质既简单又明显,然而它却能解决数学竞赛中一些难题.

Ⅱ.质数与合数、算术基本定理

大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.

一个大于1的整数,如果除了1和它自身以外没有其他正因子,则称此数为质数或素数,否则,称为合数.

显然,1既不是质数也不是合数;2是最小的且是惟一的偶质数.

定理:(正整数的惟一分解定理,又叫算术基本定理)任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积,若不计这些质数的次序,则这种质因子分解表示式是惟一的,进而A可以写成标准分解式: m

A p11 p22 pnn (*). 其中p1 p2 pn,pi为质数, i为非负整数,i=1,2,…,n.

【略证】由于A为一有限正整数,显然A经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积,把相同的质因子归类整理可得如(*)的形式(严格论证可由归纳法证明).余下只需证惟一性.

设另有A q1 1aaa q22 qnm,其中q1 q2 qm,qj为质数, i为非负整数,j=1,

2,…,m.由于任何一pi必为qj中之一,而任一qj也必居pi中之一,故n=m.又因 p1 p2 pn,q1 q2 qn,则有pi qi(i 1,2, ,n),再者,若对某个i, i i(不

,用pii除等式p12p21 pnn p11 p22 pnn两端得: 妨设 i i)

n 1p1 pi i i pn p11 pi 1 i 1 aaa pi 1

1 i 1 n pn.

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