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第十一章 20世纪数学概观(I)

20世纪数学概观(I)

20世纪数学概观(Ⅰ)

纯粹数学的主要趋势

科学知识的增长是非线性的过程.在19世纪变革与积累的基础上,20世纪数学呈现出指数式的飞速发展.现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合,而已成为分支众多的、庞大的知识体系,并且仍在继续急剧地变化发展之中.大体说来,数学核心领域(即核心数学,也称纯粹数学)的扩张,数学的空前广泛的应用,以及计算机与数学的相互影响,形成了现代数学研究活动的三大方面.下面我们将按这三大方面来概括介绍20世纪数学的发展.本章叙说纯粹数学的主要趋势;第12章阐述应用数学的发展和计算机的影响,最后在第13章中选讲一些有代表性的成就来进一步说明20世纪数学的特征. 纯粹数学是19世纪的遗产,在20世纪得到了巨大的发展.20世纪纯粹数学的前沿不断挺进,产生出令人惊异的成就.与19世纪相比,20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势:

①更高的抽象性;

②更强的统一性;

③更深入的基础探讨.

本章对20世纪纯粹数学的论述,将以这三项特征为线索.

11.1 新世纪的序幕

1900年8月,德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演.他的讲演是这样开始的:

“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕,看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域,新世纪将会带来什么样的新方法和新成果?”

第十一章 20世纪数学概观(I)

希尔伯特在讲演的前言和结束语中,对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解,而整个演说的主体,则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题,这些问题涉及现代数学的许多重要领域.一个世纪以来,这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣.

以下是希尔伯特的数学问题及解决简况:

1.连续统假设.自然数(可数)集基数S0与实数集(连续统)基数C 20之间不存在中间基数.1963年,美国数学家科恩(P.Cohen)证明了:连续统假设的真伪不可能在策梅洛—弗兰克尔公理系统内判别.

2.算术公理的相容性.1931年,哥德尔(K.Godel)证明了希尔伯特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能实现.相容性问题至今未决.

3.两等底等高四面体体积之相等.1900年德恩(M.Dehn)证明了确实存在着等底等高却不剖分相等,甚至也不拼补相等的四面体.第三问题成为最先获解的希尔伯特问题.

4.直线为两点间的最短距离问题提得过于一般.

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