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椭圆经典例题

椭圆

椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆mx2 3y2 6m 0的一个焦点为(0,2)求m的值.

分析:把椭圆的方程化为标准方程,由c 2,根据关系a2 b2 c2可求出m的值.

x

2

解:方程变形为

6

y

2

2m

1.因为焦点在y轴上,所以2m 6,解得m 3.

又c 2,所以2m 6 22,m 5适合.故m 5.

例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P 3,0 ,a 3b,求椭圆的标准方程.

分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,

求出参数a和b(或a2和b2)的值,即可求得椭圆的标准方程.

xa

22

解:当焦点在x轴上时,设其方程为

yb

22

1 a b 0 .

由椭圆过点P 3,0 ,知

9a

2

0b

2

1.又a 3b,代入得b 1,a 9,故椭圆的方程为

22

x

2

9

y 1.

2

当焦点在y轴上时,设其方程为

ya

22

xb

22

1 a b 0 .

由椭圆过点P 3,0 ,知

9a

2

0b

2

1.又a 3b,联立解得a 81,b 9,故椭圆的方程为

22

y

2

81

x

2

9

1.

例3 ABC的底边BC 16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.

分析:(1)由已知可得GC GB 20,再利用椭圆定义求解.

(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系,利用代入法求A的轨迹方程.

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