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4 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

1 第七节 无穷小的比较

定义 设下面涉及的一切极限过程均为同一极限过程. 设α和β均为无穷小. 若lim 0β

α=,则称β是比α高阶的无穷小,记作()o βα=; 若lim β

α=∞,则称β是比α低阶的无穷小. 若lim 0c β

α=≠,则称β和α是同阶无穷小. 若lim 0, 0,k c k β

α=≠>,则称β是关于α的k 阶无穷小. 若lim 1β

α=,则称β与α是等价无穷小,记作αβ.

注 等价无穷小是同阶无穷小在1c =时的特例.

例 因为2

03lim 0x x x →=, 所以当0x →时,23x 是比x 高阶的无穷小,即()23x o x = (0x →) .

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因为2

1

lim 1n n

n →∞=∞, 所以当n →∞时,1n 是比21

n 低阶的无穷小. 因为239

lim 63x x x →-=-, 所以当3x →时,29x -与3x -是同阶无穷小.

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